高校物理の問題解説: 力学的エネルギー保存の法則⑥

問題：力学的エネルギー保存⑥

図１に示すように質量\(1.0\,\text{kg}\)の物体Aと質量\(2.0\,\text{kg}\)の物体Bを軽い糸で繋ぎ、滑車を介して吊るした。初め地表から\(0.4\,\text{m}\)の位置で物体Bを支えたのち、両物体を離したところ物体Aは鉛直上向きに運動した。重力加速度の大きさを\(9.8\,\text{m/s}^2\)として以下の問いに答えよ。
問１物体Bが地表に達する直前の物体Bの速さを求めよ。

〔解き方〕

　〔公式〕

　◆力学的エネルギー　

＜物体Aについて＞
・初めの状態の力学的エネルギー
　　\(E_{A1} = K_1 + U_{g1} + U_{k1} \cdots (1)\)
・終わりの状態の力学的エネルギー
　　\(E_{A2} = K_2 + U_{g2} + U_{k2} \cdots (2)\)
＜物体Bについて＞
・初めの状態の力学的エネルギー
　　\(E_{B1} = K_1 + U_{g1} + U_{k1} \cdots (3)\)
・終わりの状態の力学的エネルギー
　　\(E_{B2} = K_2 + U_{g2} + U_{k2} \cdots (4)\)

今回の問題では、上式のような力学的エネルギーから保存則を立てて問題を解きます。以下のステップに従って立式しましょう。

ステップ１：各状態の力学的エネルギーを表現する

まず、力学的エネルギー\(E\)とは運動エネルギー\(K\)と位置エネルギー\(U\)の和です。
　　\(E = K + U\)
このうち、位置エネルギー\(U\)は重力による位置エネルギー\(U_g\)と弾性力による位置エネルギー\(U_k\)に分かれるので、上式は次の様になります。
　　\(E = K + U_g + U_k\)
更に、各エネルギーの公式を活用すると下記の様になります。
　　\(E = \frac{1}{2}m v^2 + mgh + \frac{1}{2}k x^2\)
次に、この式に含まれる速さ\(v\)や高さ\(h\)などを一つ一つ定めます。今回、高さ\(h\)は図２のように物体A, Bそれぞれの初めの位置を基準\(0\)として表現しましょう。
物体Aの初めの状態であれば、速さ\(0\), 高さ\(0\)なので条件代入後の式(1)が得られます。
物体Aの終わりの状態であれば、速さ\(v\)とし, 高さ\(0.4\)なので条件代入後の式(2)が得られます。
同様に物体Bについて考えると、式(3), (4)が得られます。

ステップ２：前の状態と後の状態を決める

保存則の基本的な式の構造は以下の通りです
　　\((前の状態) = (後の状態)\)
“前” と “後” の状態は設問ごとに考えます。今回は、両物体を離したときを”前”とし、物体Bが地表に達する直前を”後”として解きます。

ステップ３：仕事を計算する

ステップ２で “前” と “後” を決めたら、その間の仕事を計算します。今回、物体A, Bに働く力は図３の枠内に示すように重力や張力が働きます。これらの力のする仕事を計算すべきですが、重力のする仕事は位置エネルギー\(U_g\)として計上しているので不要ですので、張力による仕事のみを計算します。
物体Aならば、張力\(T\)と同じ方向に\(0.4\,\text{m}\)だけ移動するので、張力のする仕事は
\(W_A = T \cdot 0.4\cdot cos0^\circ = 0.4T\)
となります。
物体Bならば、張力\(T\)と逆の方向に\(0.4\,\text{m}\)だけ移動するので、張力のする仕事は
\(W_B = T \cdot 0.4 cos180^\circ = – 0.4T\)
となります。

ステップ４：立式する

ここまでのステップを踏まえて
　　\((前の状態) + (仕事) = (後の状態)\)
という形で物体A, Bそれぞれについて立式します。
あとは、この式を数学的に解けばokです。

注意点

今回は解説の為に上記のようなステップで解きますが、こうした問題に慣れてきたらステップ２から始めてステップ４まで行い、ステップ４で立式する最中に各状態の力学的エネルギーを具体的に表わすという手順で解けるようになってください。

運動エネルギーの詳細はコチラ！(Map)

重力による位置エネルギーの詳細はコチラ！(Map)

弾性力による位置エネルギーの詳細はコチラ！(Map)

力学的エネルギー保存の詳細はコチラ！(Map)

〔解答と解説〕

問１