〔公式〕

　◆力学的エネルギー　　条件代入　

今回の問題では、上式のような力学的エネルギーから保存則を立てて問題を解きます。 以下のステップに従って立式しましょう。

ステップ１：各状態の力学的エネルギーを表現する

まず、力学的エネルギー\(E\)とは運動エネルギー\(K\)と位置エネルギー\(U\)の和です。
　　\(E = K + U\)
このうち、位置エネルギー\(U\)は重力による位置エネルギー\(U_g\)と弾性力による 位置エネルギー\(U_k\)に分かれるので、上式は次の様になります。
　　\(E = K + U_g + U_k\)
更に、各エネルギーの公式を活用すると下記の様になります。
　　\(E = \frac{1}{2}m v^2 + mgh + \frac{1}{2}k x^2\)
次に、この式に含まれる速さ\(v\)や高さ\(h\)などを一つ一つ定めます。 今回、高さ\(h\)は図２のように状態①の高さを原点とし、 下向きを正とする\(x\)軸で表現しましょう。
状態①であれば、速度\(0\), 高さ\(0\),ばねの縮み\(0\)なので、 条件代入後の式(1)が得られます。
また、状態②を運動中の任意の位置\(x\)とし、 ②では未知の速度\(v\)をもち, 高さは\(-x\),ばねの縮みは\(x\)と 表現できるので、条件代入後の式(2)が得られます。
ここで注意してもらいたいのは、回答者が立てた\(x\)軸を用いて、 “高さ” や “縮み”を表現しているということです。 これらを単純に\(h\)や\(x\)と表現するばかりでなく、 必要に応じて座標で表現するよう気を付けましょう。

ステップ２：前の状態と後の状態を決める

保存則の基本的な式の構造は以下の通りです
　　\((前の状態) = (後の状態)\)
“前” と “後” の状態は設問ごとに考えます。 詳しくは各設問の解答・解説を参照して下さい。

ステップ３：仕事を計算する

ステップ２で “前” と “後” を決めたら、その間の仕事を計算します。 今回は、運動中の物体(と皿を合わせたもの)に働く力は図３の枠内に 示すように重力と弾性力のみ働きます。 これらの力のする仕事を計算すべきですが、 重力や弾性力のする仕事は位置エネルギー\(U_g, U_k\)として 計上しているので不要です。よって仕事は\(0\)となります。

ステップ４：立式する

ここまでのステップを踏まえて
　　\((前の状態) + (仕事) = (後の状態)\)
という形で立式します。
あとは、この式を数学的に解けばokです。

注意点

今回は解説の為に上記のようなステップで解きますが、 こうした問題に慣れてきたらステップ２から始めてステップ４まで行い、 ステップ４で立式する最中に各状態の力学的エネルギーを具体的に 表わすという手順で解けるようになってください。

運動エネルギーの詳細はコチラ！(Map)

重力による位置エネルギーの詳細はコチラ！(Map)

弾性力による位置エネルギーの詳細はコチラ！(Map)

力学的エネルギー保存の詳細はコチラ！(Map)

　答え：\(\frac{2mg}{k}\)

[解き方]の条件代入後の式(1) ~ (2)を立式した上で必要なものを使って解きましょう。
まず、①を”前の状態”、②を”後の状態”として立式します。
\( \begin{align*} \text{(前の状態)} + \text{(仕事)} &= \text{(後の状態)} \\ E_1 + 0 &= E_2\\ 0 &= \frac{1}{2}m v^2 + mg(-x) + \frac{1}{2}k x^2 \\ \end{align*} \)
最下点では速さ\(v = 0\)となるので、上式中の 状態②の速さ\(v\)にこれを代入し
\( \begin{align*} 0 &= \frac{1}{2}m\cdot 0^2 + mg(-x) + \frac{1}{2}k x^2 \\ \end{align*} \)
を解きます。
\(x\)の２次方程式となっているので因数分解し、
\( \begin{align*} 0 &= mg(-x) + \frac{1}{2}k x^2 \\ 0 &= \frac{1}{2}k x(x – \frac{2mg}{k}) \\ x &= 0, \frac{2mg}{k} \\ \end{align*} \)
このうち\(x = 0\)は最初の位置を表わしているので不適となり、
\(x = \frac{2mg}{k}\)

　答え：\(\frac{mg}{k}\)

まず、問１と同様に①を”前の状態”、②を”後の状態”として 以下の式まで計算します。
\( \begin{align*} 0 &= \frac{1}{2}m v^2 + mg(-x) + \frac{1}{2}k x^2 \\ \frac{1}{2}m v^2 &= -\frac{1}{2}k x^2 + mgx \\ \end{align*} \)
ここで、右辺が最大となる\(x\)を見つけます。 右辺が最大となる\(x\)が分かれば、 それと等号で結ばれた左辺の運動エネルギーも最大となり、 それに伴って速さ\(v\)も最大となると分かります。
ここで右辺は\(x\)の２次式となっているので、 この最大値を求める為に平方完成します。
\( \begin{align*} \frac{1}{2}m v^2 &= -\frac{1}{2}k (x^2 – \frac{2mg}{k}x) \\ &= -\frac{1}{2}k (x – \frac{mg}{k})^2 + \frac{m^2g^2}{2k} \\ \end{align*} \)
よって、\(x = \frac{mg}{k}\)となるときに運動エネルギー、および速さ は最大値をとると分かります。