〔公式〕

　◆力学的エネルギー　　条件代入　

今回の問題では、上式のような力学的エネルギーから保存則を立てて問題を解きます。 以下のステップに従って立式しましょう。

ステップ１：各状態の力学的エネルギーを表現する

まず、力学的エネルギー$E$とは運動エネルギー$K$と位置エネルギー$U$の和です。
　　$E=K+U$
このうち、位置エネルギー$U$は重力による位置エネルギー$U_g$と弾性力による 位置エネルギー$U_k$に分かれるので、上式は次の様になります。
　　$E=K+U_g+U_k$
更に、各エネルギーの公式を活用すると下記の様になります。
　　$E=\frac{1}{2}m{v}^2+mgh+\frac{1}{2}k{x}^2$
この式に含まれる、速さ$v$や高さ$h$などを一つ一つ定めます。 このうち高さ$h$は、図２のように地上を基準$0\text{m}$として①～③の高さを 表現しましょう。 ここで、図２に示す状態①であれば、速度$0\text{m/s}$, 高さ$1.8\text{m}$, ばねは今回の運動に関わらないので弾性力による位置エネルギーは$0\text{J}$として、 条件代入後の式(1)が得られます。 同様に状態②や③について考えれば式(2), (3)が得られます。 ただし、ここで状態③は注意が必要です。 “最高点” なので鉛直方向の速さは$0$となりますが、 水平方向の速さは状態②の水平方向の速さ$vcos{30}^{\circ }$と等しくなることに気を付けましょう。

ステップ２：前の状態と後の状態を決める

保存則の基本的な式の構造は以下の通りです
　　$(\mathrm{前}\mathrm{の}\mathrm{状}\mathrm{態})=(\mathrm{後}\mathrm{の}\mathrm{状}\mathrm{態})$
例えば問１で状態②の速さ$v$を求める場合は、 既知の状態①を”前”として、状態②を”後”として解くべきだと判断します。
このように、”前” と “後” の状態を①～③のいずれとするかを設問ごとに考えます。

ステップ３：仕事を計算する

ステップ２で “前” と “後” を決めたら、その間の仕事を計算します。 詳しくは各設問の解答・解説を参照して下さい。

ステップ４：立式する

ここまでのステップを踏まえて
　　$(\mathrm{前}\mathrm{の}\mathrm{状}\mathrm{態})+(\mathrm{仕}\mathrm{事})=(\mathrm{後}\mathrm{の}\mathrm{状}\mathrm{態})$
という形で立式します。
あとは、この式を数学的に解けばokです。

注意点

今回は解説の為に上記のようなステップで解きますが、 こうした問題に慣れてきたらステップ２から始めてステップ４まで行い、 ステップ４で立式する最中に各状態の力学的エネルギーを具体的に 表わすという手順で解けるようになってください。

運動エネルギーの詳細はコチラ！(Map)

重力による位置エネルギーの詳細はコチラ！(Map)

弾性力による位置エネルギーの詳細はコチラ！(Map)

力学的エネルギー保存の詳細はコチラ！(Map)

　答え：$v=4.2\text{m/s}$

[解き方]の条件代入後の式(1) ~ (3)を立式した上で必要なものを使って解きましょう。
今回は①を”前の状態”、②を”後の状態”として解きます。また、①→②にかけては 図３の枠内に示すように重力と垂直抗力が働きます。これらの力のする仕事を計算すべきですが、 重力のする仕事は位置エネルギー$U_g$として計上しているので不要です。 また垂直抗力は移動方向と常に直交するので仕事は$0$となります。 これらを踏まえると、
$\begin{array}{rl}\text{(前の状態)}+\text{(仕事)}& =\text{(後の状態)}\\ E_1+0& =E_2\end{array}$
よって、
$\begin{array}{rl}1.0\cdot 9.8\cdot 1.8& =\frac{1}{2}\cdot 1.0\cdot v^2+1.0\cdot 9.8\cdot 0.9\\ \frac{1}{2}\cdot v^2& =9.8\cdot 1.8–9.8\cdot 0.9\\ v^2& =2(9.8\cdot 1.8–9.8\cdot 0.9)\\ v^2& =2\cdot 9.8\cdot 0.9\end{array}$
$v>0$より、
$\begin{array}{rl}v& =\sqrt{2\cdot 9.8\cdot 0.9}\\ & =\sqrt{\frac{2^2\times 3^2\times 7^2}{{10}^2}}\\ & =\frac{2\times 3\times 7}{10}\\ & =4.2\end{array}$

　答え：$h=1.1\text{m}$

[解き方]の条件代入後の式(1) ~ (3)を立式した上で必要なものを使って解きましょう。
今回は①を”前の状態”、③を”後の状態”として解きます。また①→③での仕事を、 ①→②と②→③に分けて考えましょう。①→②部分では問１で説明したように仕事は$0$となります。 ②→③部分においても、図４の枠内に示すように重力のみが働き、 重力のする仕事は位置エネルギー$U_g$として計上しているので不要です。 これらを踏まえると、
$\begin{array}{rl}\text{(前の状態)}+\text{(仕事)}& =\text{(後の状態)}\\ E_1+0& =E_3\end{array}$
よって、
$\begin{array}{rl}1.0\cdot 9.8\cdot 1.8& =\frac{1}{2}\cdot 1.0\cdot (vcos{30}^{\circ }{)}^2+1.0\cdot 9.8\cdot h\\ 9.8\cdot 1.8& =\frac{1}{2}\cdot (4.2\frac{\sqrt{3}}{2}{)}^2+9.8\cdot h\\ 2\cdot 9.8\cdot 1.8& =(2.1\sqrt{3}{)}^2+2\cdot 9.8\cdot h\\ 2\cdot 9.8\cdot 1.8& ={2.1}^2\cdot 3+2\cdot 9.8\cdot h\\ h& =\frac{2\cdot 9.8\cdot 1.8–{2.1}^2\cdot 3}{2\cdot 9.8}\\ & \approx \frac{22.1}{19.6}\\ & \approx 1.12\\ & \approx 1.1\end{array}$