〔公式〕

　◆力学的エネルギー　　条件代入　

今回の問題では、上式のような力学的エネルギーから保存則を立てて問題を解きます。 以下のステップに従って立式しましょう。

ステップ１：各状態の力学的エネルギーを表現する

まず、力学的エネルギー\(E\)とは運動エネルギー\(K\)と位置エネルギー\(U\)の和です。
　　\(E = K + U\)
このうち、位置エネルギー\(U\)は重力による位置エネルギー\(U_g\)と弾性力による 位置エネルギー\(U_k\)に分かれるので、上式は次の様になります。
　　\(E = K + U_g + U_k\)
更に、各エネルギーの公式を活用すると下記の様になります。
　　\(E = \frac{1}{2}m v^2 + mgh + \frac{1}{2}k x^2\)
この式に含まれる、速さ\(v\)や高さ\(h\)などを一つ一つ定めます。 例えば、図２に示す状態①であれば、速度\(0\), 高さ\(h\), ばねの伸び\(0\) であるので条件代入後の式(1)のようになります。 同様に状態②～④について考えれば式(2) ~ (4)が得られます。

ステップ２：前の状態と後の状態を決める

保存則の基本的な式の構造は以下の通りです
　　\((前の状態) = (後の状態)\)
例えば問１で状態②の速さ\(v\)を求める場合は、 既知の状態①を”前”として、状態②を”後”として解くべきだと判断します。
このように、”前” と “後” の状態を①～④のいずれとするかを設問ごとに考えます。

ステップ３：仕事を計算する

ステップ２で “前” と “後” を決めたら、その間の仕事を計算します。 詳しくは各設問の解答・解説を参照して下さい。

ステップ４：立式する

ここまでのステップを踏まえて
　　\((前の状態) + (仕事) = (後の状態)\)
という形で立式します。
あとは、この式を数学的に解けばokです。

注意点

今回は解説の為に上記のようなステップで解きますが、 こうした問題に慣れてきたらステップ２から始めてステップ４まで行い、 ステップ４で立式する最中に各状態の力学的エネルギーを具体的に 表わすという手順で解けるようになってください。

運動エネルギーの詳細はコチラ！(Map)

重力による位置エネルギーの詳細はコチラ！(Map)

弾性力による位置エネルギーの詳細はコチラ！(Map)

力学的エネルギー保存の詳細はコチラ！(Map)

　答え：\(v = \sqrt{2gh}\)

[解き方]の条件代入後の式(1)~(4)を立式した上で必要なものを使って解きましょう。
今回は”前の状態”を①、”後の状態”を②として解きます。また、①→②にかけては 図３の枠内に示すように垂直抗力と重力が働きます。よって、これによる仕事を計算 すべきですが、垂直抗力は移動方向と常に直交するので仕事は\(0\)となり、 重力のする仕事は位置エネルギー\(U_g\)として計上しているので不要です。これらを踏まえると、
\( \begin{align*} \text{(前の状態)} + \text{(仕事)} &= \text{(後の状態)} \\ E_1 + 0 &= E_2\\ 0 + mgh + 0 &= \frac{1}{2}m v^2 + 0 + 0 \\ mgh &= \frac{1}{2}m v^2 \\ v^2 &= 2gh \\ \end{align*} \)
\(v > 0\)より、
\( \begin{align*} v &= \sqrt{2gh} \\ \end{align*} \)

　答え：\(v’ = \sqrt{2g(h – \mu’ L)}\)

[解き方]の条件代入後の式(1)~(4)を立式した上で必要なものを使って解きましょう。
今回は”前の状態”を①、”後の状態”を③として解きます。また①→③での仕事は 次の様に計算します。まず、①→②部分では問１で求めた通り仕事は\(0\)です。 また、②→③部分では図４の枠内に示すように動摩擦力と垂直抗力と重力が働きます。 垂直抗力は移動方向と常に直交するので仕事は\(0\)で、 重力のする仕事は位置エネルギー\(U_g\)として計上しているので不要です。 動摩擦力のする仕事は
\( \begin{align*} W &= Fxcos\theta \\ &= \mu’ mg L cos180^\circ \\ &= – \mu’ mg L \\ \end{align*} \)
となります。これらを踏まえると、
\( \begin{align*} \text{(前の状態)} + \text{(仕事)} &= \text{(後の状態)} \\ E_1 + (0 – \mu’ mg L) &= E_3\\ 0 + mgh + 0 – \mu’ mg L &= \frac{1}{2}m v’^2 + 0 + 0 \\ mgh – \mu’ mg L &= \frac{1}{2}m v’^2 \\ v’^2 &= 2g(h – \mu’ L) \\ \end{align*} \)
\(v’ > 0\)より、
\( \begin{align*} v’ &= \sqrt{2g(h – \mu’ L)} \\ \end{align*} \)

　答え：\(x = \sqrt{\frac{2mg(h – \mu’ L)}{k}}\)

[解き方]の条件代入後の式(1)~(4)を立式した上で必要なものを使って解きましょう。
今回は”前の状態”を①、”後の状態”を④として解きます。また①→④での仕事は 次の様に計算します。まず、①→③部分では問２で求めた通り仕事\(0 – \mu’ mg L\)です。 ③→④部分では図５の枠内に示すように弾性力と垂直抗力と重力が働きます。 弾性力や重力による仕事は位置エネルギー\(U_g, U_k\)として計上しているので不要です。 垂直抗力は移動方向と常に直交するので仕事は\(0\)となります。 これらを踏まえると、
\( \begin{align*} \text{(前の状態)} + \text{(仕事)} &= \text{(後の状態)} \\ E_1 + (0 – \mu’ mg L + 0) &= E_4\\ 0 + mgh + 0 – \mu’ mg L &= 0 + 0 + \frac{1}{2}k x^2 \\ mgh – \mu’ mg L &= \frac{1}{2}k x^2 \\ x^2 &= \frac{2mg(h – \mu’ L)}{k} \\ \end{align*} \)
\(x > 0\)より、
\( \begin{align*} x &= \sqrt{\frac{2mg(h – \mu’ L)}{k}} \\ \end{align*} \)