〔公式〕

　◆運動方程式　　条件代入　

今回の問題では、上式のような運動方程式を立てて問題を解きます。以下のステップに従って立式しましょう。

ステップ１：力の図示

物体Aに働く力を図２に、物体Bに働く力を図３に示します。 これらの力を漏れなく列挙するには、
　①遠隔力…離れていても働く力
　②接触力…接しているときに働く力
に分けて図示するとよいでしょう。これまでに学習した遠隔力は重力だけなので、 物体A, Bそれぞれに対して重力を素直に図示します。
次に接触力ですが、これまでに学習した接触力には張力や弾性力など様々あります。 こうした接触力は、対象物体が他の何かと接していたら働くと考えます。 今回、物体Aは物体Bと接しているので、垂直抗力と摩擦力が働くと考えます。 物体Bは物体Aや床面と接しているので、物体Aとの間に垂直抗力と摩擦力が、床との間に垂直抗力が働くと考えます。 ここで注意してほしいのは、物体Bが物体Aから受ける垂直抗力と摩擦力は、物体Aが受ける力の反作用として働いているので、 同じ文字\(N_1\), \(f\)で表わしましょう。

ステップ２：軸を定める

運動方程式\(ma=F\)には、”加速度” や ”力” が含まれますが、これはベクトル量なので大きさと向きをもちます。 そのため軸を定めて、軸と同方向なら正、軸と逆方向なら負として向きを取り扱う必要があります。 今回は図４のように水平方向に\(x\)軸、鉛直方向に\(y\)軸を定めます。

ステップ３：立式する

　≪物体Aについて≫
\(x\)軸方向には、図５に示すような力で水平右向きに加速度\(a_A\)で運動しているとして式(1)が立式できます。
\(y\)軸方向には、図６に示すような力で静止しているので、加速度\(0\)となり式(2)が立式できます。
　≪物体Bについて≫
\(x\)軸方向には、図７に示すような力で水平右向きに加速度\(a_B\)で運動しているとして式(3)が立式できます。
\(y\)軸方向には、図８に示すような力で静止しているので、加速度\(0\)となり式(4)が立式できます。

ここで、気づいた方もいるかもしれませんが、問１などでは物体A, Bが一体となっている場合を扱っているので、 各物体の加速度をまとめて\(a\)とおけば良いのでは？と思うかもしれません。しかし、問３では物体Aは物体Bとは 異なる加速度をもちます。そこで、この段階では一旦異なる加速度\(a_A\), \(a_B\)で表わし、問１の場合には \(a_A = a_B\)といった式を追加して、”一体となる”という意味を付与する形で解きます。

ステップ４：連立して解く

条件代入後の式(1)~(4)を用いて未知数を求めます。ここは、数学的に考えて解けばokです。

運動方程式の詳細はコチラ！(Map)

　答え：\(\frac{F}{m + M}\)

[解き方]の条件代入後の式(1)~(4)の中から必要なものを使って解きましょう。
問１では物体A, Bは一体となって運動しているので \(a_A = a_B = a\)として、 式(1)と式(3)の辺々を足すと
\( \begin{align*} m \cdot a + M \cdot a &= f + F – f\\ ( m + M )\cdot a &= F \\ a &= \frac{F}{m + M} \\ \end{align*} \)

　答え：\(\mu (M + m)g\)

[解き方]の条件代入後の式(1)~(4)の中から必要なものを使って解きましょう。
問２では「滑りだす」とあるので、最大静止摩擦力\(f = \mu N_1\)が働いて 物体A, Bは一体となって運動している（ \(a_A = a_B = a\)） と扱えます。 そこで、まず式(2)から
\( \begin{align*} m \cdot 0 &= – mg + N_1 \\ N_1 &= mg \\ \end{align*} \)
を得て、最大静止摩擦力は
\( \begin{align*} f &= \mu N_1 \\ &= \mu mg \\ \end{align*} \)
これと\(a_A = a_B = a\)を式(1)および式(3)に代入すると、
\(m \cdot a = \mu mg \cdots (1′) \)
\(M \cdot a = F_0 – \mu mg \cdots (3′) \)
が成り立ちます。これらから\(a\)を消去すると
\( \begin{align*} M \cdot \mu g &= F_0 – \mu mg \\ F_0 &= M \mu g + \mu mg \\ F_0 &= \mu (M + m)g \\ \end{align*} \)

　答え：\(\frac{F – \mu’ mg}{M}\)

[解き方]の条件代入後の式(1)~(4)の中から必要なものを使って解きましょう。
問３の状況では動摩擦力\(f = \mu’ N_1\)が働いており、 物体A, Bはそれぞれ異なる加速度\(a_A\), \(a_B\)で運動しています。 そこで、まず式(2)から
\( \begin{align*} m \cdot 0 &= – mg + N_1 \\ N_1 &= mg \\ \end{align*} \)
よって、動摩擦力は
\( \begin{align*} f &= \mu’ N_1 \\ &= \mu’ mg \\ \end{align*} \)
これを式(3)に代入して、
\( \begin{align*} M \cdot a_B &= F – f \\ M \cdot a_B &= F – \mu’ mg \\ a_B &= \frac{F – \mu’ mg}{M} \\ \end{align*} \)