〔公式〕

　◆運動方程式　　条件代入　

今回の問題では、上式のような運動方程式を立てて問題を解きます。以下のステップに従って立式しましょう。

ステップ１：力の図示

物体Aに働く力を図２に、物体Bに働く力を図３に示します。 これらの力を漏れなく列挙するには、
　①遠隔力…離れていても働く力
　②接触力…接しているときに働く力
に分けて図示するとよいでしょう。これまでに学習した遠隔力は重力だけなので、 物体A, Bそれぞれに対して重力を素直に図示します。
次に接触力ですが、これまでに学習した接触力には張力や弾性力など様々あります。 こうした接触力は、対象物体が他の何かと接していたら働くと考えます。 今回、物体Aは物体Bと接しているので、垂直抗力と摩擦力が働くと考えます。 物体Bは物体Aや床面と接しているので、物体Aとの間に垂直抗力と摩擦力が、床との間に垂直抗力が働くと考えます。 ここで注意してほしいのは、物体Bが物体Aから受ける垂直抗力と摩擦力は、物体Aが受ける力の反作用として働いているので、 同じ文字\(N_1\), \(f\)で表わしましょう。

ステップ２：軸を定める

運動方程式\(ma=F\)には、”加速度” や ”力” が含まれますが、これはベクトル量なので大きさと向きをもちます。 そのため軸を定めて、軸と同方向なら正、軸と逆方向なら負として向きを取り扱う必要があります。 今回は図４のように水平方向に\(x\)軸、鉛直方向に\(y\)軸を定めます。

ステップ３：立式する

　≪物体Aについて≫
\(x\)軸方向には、図５に示すような力で水平右向きに加速度\(a_A\)で運動しているとして式(1)が立式できます。
\(y\)軸方向には、図６に示すような力で静止しているので、加速度\(0\)となり式(2)が立式できます。
　≪物体Bについて≫
\(x\)軸方向には、図７に示すような力で水平右向きに加速度\(a_B\)で運動しているとして式(3)が立式できます。
\(y\)軸方向には、図８に示すような力で静止しているので、加速度\(0\)となり式(4)が立式できます。

ステップ４：連立して解く

条件代入後の式(1)~(4)と下記に記す式(5)を用いて未知数を求めます。ここは、数学的に考えて解けばokです。

運動方程式の詳細はコチラ！(Map)

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　〔公式〕

　◆動摩擦力の公式　　条件代入　

今回、物体Aと物体Bの間の面は粗く、図２や図３に示す垂直抗力\(N_1\)を用いて、 条件代入後の式(5)のような動摩擦力\(f\)が働きます。これと式(1)~(4)を合わせて 問題を解きましょう。

動摩擦力の詳細はコチラ！(Map)

　答え：水平左向きに\(\mu’ g\)

[解き方]の条件代入後の式(1)~(5)の中から必要なものを使って解きましょう。
今回は、式(2)から\(N_1\)を求め、それを式(5)に代入して\(f\)を求め、それ式(1)に代入して\(a_A\)を求めます。
ではまず、式(2)より
\( \begin{align*} m \cdot 0 &= – mg + N_1 \\ N_1 &= mg \\ \end{align*} \)
これを式(5)に代入して
\( \begin{align*} f &= \mu’ N_1 \\ f &= \mu’ mg \\ \end{align*} \)
さらにこれを式(1)に代入して
\( \begin{align*} m \cdot a_A &= – \mu’ mg\\ a_A &= – \mu’ g\\ \end{align*} \)
問１では加速度(ベクトル量)を求めるので、負の値であることを踏まえて「水平左向きに\(\mu’ g\)」が答えとなります。

　答え：水平右向きに\(\mu’ \frac{m}{M}g\)

[解き方]の条件代入後の式(1)~(5)の中から必要なものを使って解きましょう。
今回は、式(2)から\(N_1\)を求め、それを式(5)に代入して\(f\)を求め、それ式(3)に代入して\(a_B\)を求めます。
\(f\)を求めるところまでは問１と同じなのでそちらを参照してください。 では、求めた\(f\)を式(3)に代入して
\( \begin{align*} M \cdot a_B &= \mu’ mg \\ a_B &= \mu’ \frac{m}{M}g \\ \end{align*} \)
問２では加速度(ベクトル量)を求めるので、正の値であることを踏まえて「水平右向きに\(\mu’ \frac{m}{M}g\)」が答えとなります。