〔公式〕

　◆運動方程式　　条件代入　

今回の問題では、上式のような運動方程式を立てて問題を解きます。以下のステップに従って立式しましょう。

ステップ１：力の図示

物体Aに働く力を図２に、物体Bに働く力を図３に示します。 これらの力を漏れなく列挙するには、
　①遠隔力…離れていても働く力
　②接触力…接しているときに働く力
に分けて図示するとよいでしょう。これまでに学習した遠隔力は重力だけなので、 物体A, Bそれぞれに対して重力を素直に図示します。
次に接触力ですが、これまでに学習した接触力には張力や弾性力など様々あります。 こうした接触力は、対象物体が他の何かと接していたら働くと考えます。 今回、物体A, Bはいずれも糸と接しているので、張力が働くと考えます。

ステップ２：軸を定める

運動方程式\(ma=F\)には、”加速度” や ”力” が含まれますが、これはベクトル量なので大きさと向きをもちます。 そのため軸を定めて、軸と同方向なら正、軸と逆方向なら負として向きを取り扱う必要があります。 今回は鉛直方向の運動のみを扱えばよいので図４のように\(y\)軸を定めます。

ステップ３：立式する

運動方程式\(ma=F\)において、質量\(m\)は問題文で与えられている場合が多いです。 一方、加速度\(a\)や力\(F\)は問題文や図から判断する必要があり、これらはベクトルなので方向ごとに考えないといけません。
　≪物体Aについて≫
鉛直下向きに大きさ\(a\)の加速度で運動しているので”\(-a\)”として代入し、力\(F\)は図５に示す力が対象となり式(1)が得られます。
　≪物体Bについて≫
鉛直上向きに大きさ\(a\)の加速度で運動しているので、そのまま”\(a\)”として代入し、力\(F\)は図６に示す力が対象となり式(2)が得られます。

ステップ４：連立して解く

条件代入後の式(1), (2)を用いて未知数を求めます。ここは、数学的に考えて解けばokです。
これ以降の計算結果は[解答と解説]を参照してください。

運動方程式の詳細はコチラ！(Map)

　答え：\(\frac{m_A -m_B}{m_A + m_B}g\)

[解き方]の条件代入後の式(1), (2)を用いて解きましょう。
式(2)から式(1)を引いて
\( \begin{align*} m_B \cdot a – m_A \cdot (-a) &= -m_B \cdot g + T – (-m_A \cdot g + T)\\ (m_A + m_B) \cdot a &= -m_B \cdot g + m_A \cdot g \\ a &= \frac{m_A -m_B}{m_A + m_B}g \\ \end{align*} \)

　答え：\(2\frac{m_A m_B}{m_A + m_B} g\)

[解き方]の条件代入後の式(1), (2)を用いて解きましょう。
問１の結果を式(2)に代入して
\( \begin{align*} m_B \cdot a &= -m_B \cdot g + T\\ m_B \cdot \frac{m_A -m_B}{m_A + m_B}g &= -m_B \cdot g + T\\ T &= m_B \cdot \frac{m_A -m_B}{m_A + m_B}g + m_B \cdot g\\ T &= (\frac{m_A -m_B}{m_A + m_B} + 1) m_B\cdot g\\ T &= 2\frac{m_A m_B}{m_A + m_B} g\\ \end{align*} \)