〔公式〕

　◆運動方程式　　条件代入　

今回の問題では、上式のような運動方程式を立てて問題を解きます。以下のステップに従って立式しましょう。

ステップ１：力の図示

物体Aに働く力を図２に、物体Bに働く力を図３に示します。 これらの力を漏れなく列挙するには、
　①遠隔力…離れていても働く力
　②接触力…接しているときに働く力
に分けて図示するとよいでしょう。これまでに学習した遠隔力は重力だけなので、 物体A, Bそれぞれに対して重力を素直に図示します。
次に接触力ですが、これまでに学習した接触力には張力や弾性力など様々あります。 こうした接触力は、対象物体が他の何かと接していたら働くと考えます。 物体Aは水平面や糸と接しているので、垂直抗力と張力が働くと考えます。 物体Bは糸と接しているので、張力が働くと考えます。

ステップ２：軸を定める

運動方程式\(ma=F\)には、”加速度” や ”力” が含まれますが、これはベクトル量なので大きさと向きをもちます。 そのため軸を定めて、軸と同方向なら正、軸と逆方向なら負として向きを取り扱う必要があります。 今回は、平面上にわたる運動なので、図４のように水平方向に\(x\)軸、鉛直方向に\(y\)軸を定めます。

ステップ３：立式する

運動方程式\(ma=F\)において、質量\(m\)は問題文で与えられている場合が多いです。 一方、加速度\(a\)や力\(F\)は問題文や図から判断する必要があり、これらはベクトルなので方向ごとに考えないといけません。
　≪物体Aについて≫
\(x\)軸方向には運動しているので加速度はそのまま\(a\)とし、力\(F\)は図５に示す水平方向の力が対象となり式(1)が得られます。
\(y\)軸方向には静止しているので加速度は\(0\)とし、力\(F\)は図６に示す鉛直方向の力が対象となり式(2)が得られます。
　≪物体Bについて≫
\(x\)軸方向には静止しているので加速度は\(0\)とし、力\(F\)は図７に示す通り一切働いていないので式(3)のようになります。
\(y\)軸方向には下向きに物体Aの加速度と同じ大きさで運動しているので\(-a\)とし、力\(F\)は図８に示す鉛直方向の力が対象となり式(4)が得られます。
式(3)は問題を解く上で明らかに不要な式ですが、そもそも全物体・全方向について運動方程式が立てられると知ったうえで、必要な式のみを立式できるようになりましょう。

ステップ４：連立して解く

条件代入後の式(1) ~ (4)を用いて未知数を求めます。ここは、数学的に考えて解けばokです。
例えば、式(2)から\(N\)求められると分かります。 式(1), (4)にはそれぞれ\(a\)と\(T\)が含まれているので、これらを連立して解く必要があると分かります。 これ以降の計算結果は[解答と解説]を参照してください。

運動方程式の詳細はコチラ！(Map)

　答え：\(\frac{m}{M + m} g\)

[解き方]の条件代入後の式(1), (4)を用いて解きましょう。
式(1), (4)から\(T\)を消去して
\( \begin{align*} M \cdot a + m \cdot a &= mg\\ (M + m) \cdot a &= mg\\ a &= \frac{m}{M + m} g\\ \end{align*} \)

　答え：\(\frac{Mm}{M + m} g\)

[解き方]の条件代入後の式(1), (4)を用いて解きましょう。
問１の結果を式(1)に代入して
\( \begin{align*} M \cdot \frac{m}{M + m} g &= T\\ T &= \frac{Mm}{M + m} g\\ \end{align*} \)