〔公式〕

　◆等加速度運動の公式　　条件代入　

等加速度運動を扱う上では、まずその運動の加速度\(a\), 初速度\(v_0\), 初期位置\(x_0\)求める必要があります。 これらは問題文中に与えられている場合もあれば、そうでない場合もあります。 特に加速度は与えられていないことが多く、その場合は式(1)や\(v-t\)グラフを用いて求めます。
加速度\(a\), 初速度\(v_0\), 初期位置\(x_0\)が分かってしまえば、これらを式(2)~(4)に代入することで位置\(x\)と速度\(v\)と時刻\(t\)の関係を求めることができます。
例えば、条件代入後の式(2)なら\(t\)と\(v\)が未知数として式に含まれているので、\(t\)が分かれば\(v\)を求めることができますし、逆に\(v\)が分かれば\(t\)を求めることもできます。
式(3)には未知数\(t\)と\(x\)が含まれ、式(4)には未知数\(v\)と\(x\)が含まれており、こうした未知数に対して、設問で与えられる条件と求めたいものから使う式を判断します。
今回は加速度\(a\), 初速度\(v_0\), 初期位置\(x_0\)が問題文中に与えられていますが、初期位置\(x_0\)は\(x\)軸の原点を地表に合わせるか、物体の最初の位置に合わせるかによって変わります。 上記の条件代入後の式は物体の最初の位置に\(x\)軸の原点を合わせてますが、地表に合わせた場合の結果も[解答と解説]の中で別解として紹介していきます。

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　答え：\(2.0\,\text{s}\)

[解き方]で紹介した条件代入後の式(1)～(3)の中から必要なものを用いて解いていきます。
最高点に達するのは鉛直方向の速度\v=(0\)となる瞬間です（図２）。また、時刻\(t\)を求めるので\(t\)と\(v\)を含む式(1)を利用します。
\(0 = 19.6 + (-9.8)t\)
\(t = \frac{19.6}{9.8}\)
\(t = 2.0\,\text{s}\)

　答え：\(44.1\,\text{m}\)

[解き方]で紹介した条件代入後の式(1)～(3)の中から必要なものを用いて解いていきます。
最高点に達する時刻は問１の結果から\(t=2.0\,\text{s}\)と分かっています。また、位置\(x\)を求めるので\(t\)と\(x\)を含む式(2)を利用します。
\(x = 0 + 19.6\cdot 2.0 + \frac{1}{2}(-9.8)\cdot 2.0^2 = 19.6\,\text{m}\)
ただし、この値は高台を原点とした座標なので、地表からの高さを求めるには以下の計算をし、
\(h = 19.6 + 24.5 = 44.1\,\text{m}\)
（図３）

（別解）
地表に原点を合わせた\(x’\)軸をを用いて解いてみましょう。
\(x = x_0 + v_0t + \frac{1}{2}at^2 \cdots (2)\)
の公式に対して、初期位置\(x_0\)は\(24.5\,\text{m}\)となるので、これと初速度や加速度の条件も代入すると
\(x’ = 24.5 + 19.6t + \frac{1}{2}(-9.8)t^2 \cdots (2)’\)
となります。この式に最高点に達する時刻\(t=2.0\,\text{s}\)を代入し、
\(x’ = 24.5 + 19.6\cdot 2.0 + \frac{1}{2}(-9.8)\cdot 2.0^2 = 44.1\,\text{m} \)
となり、この値は地表からの高さを表しています。

　答え：\(5.0\,\text{s}\)

[解き方]で紹介した条件代入後の式(1)～(3)の中から必要なものを用いて解いていきます。
地表に達するのは\(x=-24.5\)となる瞬間です（図４）。また、時刻\(t\)を求めるので\(t\)と\(x\)を含む式(2)を利用します。
\(-24.5 = 0 + 19.6\cdot t + \frac{1}{2}(-9.8)\cdot t^2\)
\(t^2 – 4t – 5 = 0 \)
\((t – 5)(t + 1) = 0 \)
\(t = -1, 5 \)
\(t > 0\)であることは明らかなので、\(t = 5.0\,\text{s}\)となります。

（別解）
地表に原点を合わせた\(x’\)軸をを用いて解いてみましょう。
つまり、問２の別解で導いた式(2)’に対して「地表に達する」という意味で\(x’ = 0\)を代入すると
\(0 = 24.5 + 19.6\cdot t + \frac{1}{2}(-9.8)\cdot t^2\)
となり、これは上記解答で得られた\(t^2 – 4t – 5 = 0 \)と同じ式になります。
このように、軸の原点によって出来る式は違っても、適切に仮定を適用すれば答えは同じになります。

　答え：\(29.4\,\text{m/s}\)

[解き方]で紹介した条件代入後の式(1)～(3)の中から必要なものを用いて解いていきます。
地表に達する時刻は問３の結果から\(t=5.0\,\text{s}\)と分かっています（図５）。また、速度\(v\)を求めるので\(t\)と\(v\)を含む式(1)を利用します。
\(v = 19.6 + (-9.8)\cdot 5.0 \)
\(v = -29.4\,\text{m/s} \)
負の値となっているので、鉛直上向きを正とする軸とは逆向きの鉛直下向きに向かっていることが分かります。今回は、速さを求めるので絶対値を取り\(29.4\,\text{m/s}\)。